3 Hệ Phương Trình Tuyến Tính Là Gì, 3 Hệ Phương Trình Tuyến Tính Và Cách Giải Chúng

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Quan niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ tất cả m phương trình của n ẩn số

tất cả dạng:

trong đó:

;

– thông số (của ẩn) ;

– thông số tự do.

Bạn đang xem: Phương trình tuyến tính là gì

2. Nhấn xét:

Ta đặt:

" class="latex" /> ;

" class="latex" />

Khi đó, theo cách làm của phép nhân ma trận ta có:

Hay hệ phương trình (1.1) hoàn toàn có thể viết thành phương trình ma trận:

(1.2) với được hotline là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận thông số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận thoải mái (cột tự do)

Ma trận

" class="latex" /> được gọi là ma trận không ngừng mở rộng (ma trận bửa sung)

3. Phương trình đường tính thuần duy nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) ví như

. Ta có:

Hay:

Khi đó: hệ (1.3) được điện thoại tư vấn là hệ phương trình tuyến tính thuần độc nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solution –

) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Nhì hệ pttt cùng ẩn số được hotline là tương đương nếu chúng tất cả cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh vấn đề rằng, hai hệ pttt tương tự thì độc nhất vô nhị thiết phải có cùng số ẩn, cơ mà số phương trình có thể khác nhau.

Ví dụ: hai hệ phương trình

cùng

là hai hệ tương tự vì chúng tất cả cùng tập nghiệm là:

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến đường tính (tổng quát) có n phương trình với n ẩn được hotline là hệ Cramer, giả dụ ma trận của chính nó không suy biến.

( đến

thì AX = B hotline là hệ Cramer trường hợp

)

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có

đề nghị A khả nghịch và tồn tại độc nhất vô nhị ma trận nghịch đảo

. Khi đó: nhân nhì vế của (1.2) mang lại

ta có:

(1.4)

Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất xác minh bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức khẳng định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều phải có duy độc nhất vô nhị một nghiệm cho do công thức:

(1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận ra từ D bằng phương pháp thay cột lắp thêm j của D bởi cột hệ số tự vì chưng

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận thông số A là khả nghịch đề xuất tồn trên ma trận nghịch đảo:

(trong kia

là ma trận phụ hòa hợp của ma trận A)

Do đó, tự hpt:

(*)

Bây giờ, ta xét:

. Ta có:

. \left<\beginarrayc b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \endarray \right> = \left<\beginarrayc b_1A_11+ b_2.A_21+ \ldots +b_n.A_n1 \\ b_1A_12+b_2A_22+ \ldots +b_nA_n2 \\ \ldots \\ b_1A_n1+b_2A_n2+ \ldots +b_nA_nn \\ \endarray \right> " class="latex" /> (**)

Từ (*) , (**) ta có:

= \dfrac1D \left<\beginarrayc b_1A_11+b_2A_21+ \ldots +b_nA_n1 \\ b_1A_12+b_2A_22+ \ldots +b_nA_n2 \\ \ldots \\ b_1A_1n+ b_2A_2n + \ldots +b_nA_nn \\ \endarray \right> " class="latex" />

Hay:

Ta đặt:

(***)

Mặt không giống theo quan niệm định thức ta có:

(****)

So sánh vế yêu cầu của (***) cùng với (****) ta phân biệt Dj giành được từ D bằng phương pháp thay cột j của ma trận thông số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta dìm thấy: cùng với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

– trường hợp