1.1. Mục đích
Tìm hiểu về biến hóa Fourier và giải pháp biểu diễn tác dụng trong miền tần số.
Bạn đang xem: Fourier transform là gì
Tìm hiểu về phép chập 1 chiều, 2D, tiến hành phnghiền chập trong miền tần số.
1.2. Các công thức được sử dụng
Tích phân với hàm mũ:
Công thức Euler:
Từ công thức Euler gồm quan hệ giới tính lượng giác:
Tổng cấp số nhân:
1.3. Biến đổi Fourier mang đến biểu thị liên tục
Fourier Transkhung là phương thức thay đổi bộc lộ liên tục trường đoản cú miền thời hạn sang miền tần số.
Công thức biến đổi Fourier nhỏng sau:
Trong đó:
F(w) là tác dụng thay đổi bộc lộ từ bỏ miền thời gian thanh lịch miền tần số.w là tần số góc, w = 2πf, đơn vị chức năng rad/s.j là biến chuyển phức (kỹ sư năng lượng điện, năng lượng điện tử sử dụng j nắm mang lại i để sáng tỏ cùng với ký kết hiệu chiếc điện).p(t) là tín hiệu liên tục vào miền thời hạn.Ví dụ: Biến thay đổi Fourier đến tín hiệu
Sử dụng bí quyết (1.5):
Sử dụng quan hệ (1.3) mang đến (1.7), nhận được kết quả:
Hình 1: Tín hiệu p(t) với chuyển đổi Fourier
Kết quả của biến hóa Fourier tất cả trình diễn phức như sau:
Trong số đó, Re(w) với Im(w) tương xứng là phần thực với phần ảo của chuyển đổi Fourier.
Giá trị biên độ (Modulus) tính như sau:
Giá trị trộn (phase) tính như sau:
cũng có thể sử dụng vệt của Re(w) và Im(w) nhằm xác minh trộn đã ở góc cạnh phần tư như thế nào (vị pha biến hóa từ bỏ 0 mang lại 2π).
Hình 2: Biên độ cùng pha của F(w)
Ta có đổi khác Fourier ngược cho phép biến hóa dấu hiệu từ miền tần số về miền thời hạn. Phxay đổi khác ngược quan niệm theo phương pháp sau:
Biến thay đổi Fourier cho thấy thêm các tần số làm cho biểu thị vào miền thời hạn cùng cực hiếm biên độ của tần số đó tính theo F(w). Nếu cộng toàn bộ các biểu đạt đó thì ta chiếm được biểu hiện giống hệt biểu lộ ban sơ.
Các hình sau minch họa mang đến quy trình tổng đúng theo biểu hiện p(t) trong ví dụ bên trên với w vào dải (-6, 6). Với dải tần càng rộng lớn, hiệu quả càng tương đương bộc lộ ban đầu.
Hình 3: Tổng hòa hợp tín hiệu
Có 1 phép toán vô cùng đặc trưng vào đổi khác Fourier sẽ là phnghiền chập (Convoulution). Phnghiền chập vào miền thời hạn của biểu lộ với biểu lộ , ký hiệu là *, khái niệm bởi cách làm sau:
Sử dụng phương pháp (1.5), ta tất cả biến hóa Fourier của phnghiền chập nlỗi sau:
Trong số đó,
Cách này chỉ hiệu quả Lúc biểu đạt gồm kích cỡ lớn, Việc tiến hành phnghiền chập yêu cầu không ít phép nhân. Chi ngày tiết rộng sẽ được trình bày ở trong phần sau.
1.4. Biến đổi Fourier tránh rạc
Hình ảnh số là biểu lộ rời rốc. Do đó, ta cần phải có cách chuyển đổi Fourier cùng với các loại tín hiệu này, hay còn gọi là biến đổi Fourier rời rộc, viết tắt là DFT (Discrete Fourier Transform).
DFT của một tập N điểm là một tập cá điểm vào miền tần số, tính theo công thức sau:
Ví dụ: Áp dụng DFT mang lại chuỗi biểu lộ xung điểm gồm biên độ A:
Áp dụng (1.4) mang lại (1.16):
Biên độ (Modulus) của số phức :
Hình 4: Hàm xung và chuyển đổi DFT
Tương từ bỏ như thay đổi Fourier, ta cũng rất có thể sử dụng công dụng của DFT để tổng vừa lòng lại tín hiệu tránh rạc trong miền thời hạn tự các yếu tố tần số dạng sin. Các thông số của DFT cho thấy thêm biên độ của những nguyên tố tần số.
Công thức chuyển đổi DFT ngược:
Hình 5: Tổng thích hợp bộc lộ tự tác dụng DFT
Bên trên ta mới chỉ xét biến hóa DFT một chiều. Tuy nhiên, để xử lý ảnh số, ta bắt buộc phxay chuyển đổi DFT 2 chiều. Ta sẽ xét sự biến đổi quý giá điểm ảnh theo 2 chiều tọa độ Ox với Oy, khớp ứng có 2 chiều trong miền tần số, đặt là u cùng v.
Biến đổi DFT cho hình ảnh form size N × N tính theo bí quyết sau:
Hình 6: Biến thay đổi DFT 2 chiều
Hình 6 minc họa biến hóa DFT 2 chiều. Hình ảnh nơi bắt đầu chỉ bao gồm sự thay đổi quý hiếm theo chiều Ox đề nghị tương xứng trong miền tần số chỉ tất cả sự thay đổi cực hiếm theo u.
Giống như các đổi khác trước, DFT 2 chiều gồm biến hóa ngược theo bí quyết sau:
Một công năng quan trọng đặc biệt của chuyển đổi DFT là tính tái diễn, giỏi chu kỳ luân hồi. Ta đang chứng minh DFT 2 chiều bao gồm tính năng này. Với đổi khác DFT của hình ảnh kích thước N × N , cùng với m và n là các số ngulặng, ta tính:
Do m, n nguim yêu cầu nguyên. Áp dụng (1.2) được:
Kết quả (1.27) cho thấy tuần trả cùng với chu kỳ luân hồi N, với N × N là kích thước của hình họa đầu vào.
vì thế, mặc dù những đổi thay u cùng v không bị chặn (từ bỏ -∞ đến ∞ ), nhưng mà vì tính chất tuần hoàn yêu cầu công dụng của biến đổi DFT 2 chiều của hình ảnh N × N chỉ cần màn trình diễn dưới dạng ma trận N × N.
Giá trị có cách gọi khác là thông số DC (Direct Current). Thay u = v = 0 vào phương thơm trình (1.17) ta được:
Hay là tổng mức vốn toàn bộ các điểm hình họa phân tách mang đến .
Hình 7 phía bên trái màn biểu diễn kết quả đổi khác DFT bên dưới dạng ma trận. Ta thực hiện phnghiền dịch để được hiệu quả nlỗi hình mặt đề xuất, điểm tần số 0 (hệ số DC) nằm ở vị trí giữa ma trận, các điểm biểu diễn tần số tăng mạnh theo hướng tiến ra biên.
Hình 7: Dịch thông số DC vào giữa ma trận kết quả
Pmùi hương trình (1.29) cho biết thêm Lúc nhân từng điểm hình ảnh cùng với , điểm màn trình diễn DFT bị dịch đi một đoạn theo cả 2 trục. Tức là điểm tần số 0 đang ở ở chính giữa ma trận kết quả biểu diễn miền tần số.
Thực tế là đổi khác DFT theo quan niệm hơi trễ khi thực hiện trên ảnh tất cả kích thước mập vày cần thực hiện rất nhiều phxay nhân. Biến đổi DFT hay được tiến hành bởi thuật tân oán Fast Fourier Transkhung (FFT) góp cải thiện tương đối nhiều cân nặng tính toán. Tài liệu này sẽ không trình diễn cụ thể FFT.
Ví dụ: Tính DFT một chiều đến biểu lộ tránh rạc có
phnghiền nhân. Tuy nhiên, FFT chỉ việc n . Do đó, vận tốc xử trí tăng lần.
Bảng 1: So sánh triển khai DFT theo định nghĩa với thực hiện FFT
| Kích thước (2n) | Số phnghiền nhân | Tỉ lệ(Định nghĩa/FFT) | |
| Định nghĩa | FFT | ||
| 4 | 16 | 8 | 2.0 |
| 8 | 84 | 24 | 2.67 |
| 16 | 256 | 64 | 4.0 |
| 32 | 1024 | 160 | 6.4 |
| 64 | 4096 | 384 | 10.67 |
| 128 | 16384 | 896 | 18.3 |
| 256 | 65536 | 2048 | 32.0 |
| 512 | 262144 | 4608 | 56.0 |
| 1024 | 1048576 | 10240 | 102.4 |
Phnghiền chập thân 2 hình ảnh A với B, tuyệt chập 2D, tư tưởng theo bí quyết sau:
Phnghiền chập này được thực hiện rất nhiều vào xử lý ảnh. Nó đó là bí quyết thực hiện mặt nạ để lọc biên (Sobel, Prewit, Robert), nhiễu , thanh lọc thông phải chăng thông cao (Gaussian). Giống như chập tín hiệu một chiều, phxay chập dấu hiệu 2 chiều trong miền thời gian tương đương phép nhân vào miền tần số.
Hình 8: Phnghiền chập trong cách xử lý ảnh
Lưu ý: Như đã kể ở trên, kết quả của phxay DFT hay chỉ màn trình diễn dạng ma trận N × N, cùng với N × N là size hình ảnh. Nhưng trong miền tần số, u với v không trở nên số lượng giới hạn với công dụng DFT gồm tính tái diễn theo N.
Giả sử ta phải lọc hình họa N × N thực hiện phương diện nạ m × n. Độ phức tạp của FFT 2D là . Nếu khía cạnh nạ dùng để làm thanh lọc đã được thay đổi trước thì ta chỉ việc dùng FFT gấp đôi. Sau đó, yêu cầu N² phép nhân để nhân 2 ảnh và phương diện nạ trong miền tần số. Tổng vừa lòng độ phức tạp:
Thực hiện lọc theo quan niệm yêu cầu phxay nhân cho mỗi điểm hình ảnh. Số phép nhân mang lại toàn cục quá trình lọc theo tư tưởng là:
Ví dụ: Với ảnh kích thước 256×256, ta thực hiện chập thẳng với cỗ lọc xuất hiện nạ size 3×3, 5×5 hoặc 7×7. Với khía cạnh nạ to hơn, thực hiện FFT mang lại hiệu quả nhanh hơn.
2. Ứng dụng Fourier transform2.1. Bộ lọc thông phải chăng, thông cao
Ta đã biết, trong ảnh xám, vùng ảnh nhưng quý hiếm giữa các Pixel biến đổi bất thần là vùng hình họa tần số cao, ví như biên hoặc nhiễu. trái lại, vùng hình họa mà giá trị những Pixel đổi khác khôn xiết ít là vùng ảnh tất cả tần số phải chăng, ví dụ như vùng nền (Background).
Giả sử, ta gồm ma trận công dụng chuyển đổi DFT của một hình ảnh xám, hệ số DC được dịch vào giữa. Do những thành phần tần số tốt sinh sống ngay sát trọng tâm ma trận, ta rất có thể triển khai các bộ lọc tần số rẻ bằng phương pháp sa thải các hệ số sinh hoạt biện pháp xa trọng điểm.
Hình 9: Hình ảnh xám (trái) cùng thay đổi DFT (phải)
Hình 10: Lọc thông thấp (trái) và công dụng (phải)
Hình bên trên minc họa lọc thông phải chăng trong miền tần số. Với kích thước hình tròn trụ càng nhỏ tuổi thì hình càng bị mờ vì các nhân tố tần số cao bị lọc đi những.
Hình 11: Lọc thông phải chăng với các form size cỗ lọc
Ngược lại cùng với lọc thông thấp. Lọc thông cao đang loại bỏ những hệ số sinh hoạt gần trung tâm cùng thân lại những hệ số giải pháp xa trọng điểm. Với size hình trụ càng béo thì biên của đối tượng người dùng trong hình ảnh càng biểu hiện rõ. Tuy nhiên, bộ thanh lọc này không thanh lọc được nhiễu.
